Princípio de Arquimedes

O princípio de Arquimedes afirma que todo corpo submerso em um fluído experimenta um empuxo vertical e para cima igual ao peso de fluído deslocado.

A explicação do princípio de Arquimedes consta de duas partes como é indicado nas figuras:

1. O estudo das forças sobre uma porção de fluído em equilíbrio com o resto do fluído.
2. A substituição desta porção de fluído por um corpo sólido de mesma forma e dimensão.

Porção de fluído em equilíbrio com o resto do fluído.

Consideremos, em primeiro lugar, as forças sobre uma porção de fluído em equilíbrio com o resto de fluído. A força que exerce a pressão do fluído sobre a superfície de separação é igual a p·dS, onde p somente depende da profundidade e dS é um elemento de superfície.

Posto que a porção de fluído se encontra em equilíbrio, a resultante das forças devidas a pressão deve ser anulada com o peso de desta porção de fluído. A esta resultante denominamos empuxo e seu ponto de aplicação é o centro de massa da porção de fluído, denominado centro de empuxo.

Deste modo, para uma porção de fluído em equilíbrio com o resto, é obedecido

Empuxo=peso=r_f·gV

O peso da porção de fluído é igual ao produto da densidade do fluído r_f  pela aceleração da gravidade g e pelo volume desta porção V.

Substituímos a porção de fluído por um corpo sólido de mesma forma e dimensões.

Se substituirmos a porção de fluído por um corpo sólido de mesma forma e dimensões. As forças devidas a pressão não mudam, por tanto, sua resultante que denominamos empuxo é a mesmo atua no mesmo ponto, denominado centro de empuxo.

O que muda é o peso do corpo sólido e seu ponto de aplicação que é o centro de massa, que pode ou não coincidir com o centro de empuxo.

Exemplo:

Suponhamos um corpo submerso de densidade ρ rodeado por um fluído de densidade ρ_f. A área da base do corpo é A e sua altura h.

A pressão devida ao fluído sobre a base superior é p₁= ρ_fgx, e a pressão devida ao fluído na base inferior é p₂= ρ_fg(x+h). A pressão sobre a superfície lateral é variável e depende da altura, está compreendida entre p₁ e p₂.

As forças devidas a pressão do fluído sobre a superfície lateral são anuladas. As outras forças sobre o corpo são as seguintes:

·         Peso do corpo, mg

·         Força devida a pressão sobre a base superior, p₁·A

·         Força devida a pressão sobre a base inferior, p₂·A

No equilíbrio teremos que

mg+p₁·A= p₂·A
mg+ρ_fgx·A= ρ_fg(x+h)·A

ou então,

mg=ρ_fh·Ag

Como a pressão na face inferior do corpo p₂ é maior que a pressão na face superior p₁, a diferença é ρ_fgh. O resultado é uma força para cima ρ_fgh·A sobre o corpo devida ao fluído que o rodeia.

Como vemos, a força de empuxo tem sua origem na diferença de pressão entre a parte superior e a parte inferior do corpo submerso no fluído.

Com esta explicação surge um problema interessante e debatido. Suponhamos que um corpo de base plana (cilíndrico ou em forma de paralelepípedo) cuja densidade é maior que a do fluído, descansa no fundo do recipiente.

Se não há fluído entre o corpo e o fundo do recipiente, desaparece a força de empuxo, tal como é mostrado na figura

Se enchemos um recipiente com água e colocamos um corpo no fundo, o corpo ficaria em repouso sujeito a seu próprio peso mg e a força p₁A que exerce a coluna de fluído situada acima do corpo, inclusive se a densidade do corpo fosse menor que a do fluído. A experiência demonstra que o corpo flutua e chega a superfície.

O princípio de Arquimedes segue sendo aplicável em todos os casos e é enunciado em muitos textos de Física do seguinte modo:

Energia potencial mínima.

Neste tópico, estudamos o princípio de Arquimedes como um exemplo, de como a natureza busca minimizar a energia.

Suponhamos um corpo em forma de paralelepípedo de altura h, secção A e de densidade ρ_s. O fluído está contido em um recipiente de secção S  até uma altura b. A densidade do fluído é ρ_f> ρ_s.

Liberamos o corpo, este oscila para cima e para baixo, até que alcança o equilíbrio flutuando sobre o líquido ficando submerso um comprimento x.  O líquido do recipiente sobe até uma altura d. Como a quantidade de líquido não variou S·b=S·d-A·x

Temos que calcular x, de modo que a energia potencial do sistema formado pelo corpo e o fluído seja mínima.

Tomamos o fundo do recipiente como nível de referência da energia potencial.

O centro de massa do corpo se encontra a uma altura d-x+h/2. Sua energia potencial é E_s=(ρ_s·A·h)g(d-x+h/2)

Para calcular o centro de massas do fluído, consideramos o fluído como uma figura sólida de secção S e altura d ao qual falta uma porção de secção A e altura x.

• O centro de massas da figura completa, de volume S·d é d/2
• O centro de massas do oco, de volume A·x, está a uma altura (d-x/2)

A energia potencial do fluído é E_f=ρ_f(Sb)g·y_f

A energia potencial total é E_p=E_s+E_f

O valor da constante aditiva cte, depende da escolha do nível de referência da energia potencial.

Na figura, representamos a energia potencial E_p(x) para um corpo de altura h=1.0, densidade ρ_s=0.4, parcialmente submerso em um líquido de densidade ρ_f=1.0.

A função apresenta um mínimo, que é calculado derivando a energia potencial com relação a x e igualando a zero

Na posição de equilíbrio, o corpo se encontra submerso

Energia potencial de um corpo que se move no seio de um fluído

Dada a força conservativa podemos determinar a fórmula da energia potencial associada, integrando

• A força conservativa peso F_g=–mgj está associada com a energia potencial E_g=mg·y.
• Pela mesma razão, a força conservativa empuxo F_e= rVg j está associada a energia potencial E_e=-r_fVg·y.

Dada a energia potencial podemos obter a força conservativa, derivando

A energia potencial associada com as duas forças conservativas é

E_p=(mg- r_fVg)y

A medida que o balão sobe no ar com velocidade constante experimenta uma força de atrito F_r devida a resistência do ar. A resultante das forças que atuam sobre o balão deve ser zero.

r_f Vg- mg-F_r=0

Como r_fVg> mg a medida que o balão sobe sua energia potencial  E_p diminui.

Empregando o balanço de energia obtemos a mesma conclusão

O trabalho das forças não conservativas F_nc modifica a energia total (cinética mais potencial) da partícula. Como o trabalho da força de atrito é negativo e a energia cinética E_k não varia (velocidade constante), concluímos que a energia potencial final E_pB é menor que a energia potencia inicial E_pA.

Na página titulada "movimento de um corpo no seio de um fluído ideal", estudaremos a dinâmica do corpo e aplicaremos o princípio de conservação da energia.

Energia potencial de um corpo parcialmente submerso

No tópico anterior, estudamos a energia potencial de um corpo totalmente submerso em um fluído (um balão de hélio na atmosfera). Agora vamos supor um bloco cilíndrico que se colocado sobre a superfície de um fluído (por exemplo água).

Podem ocorrer dois casos:

• Que o bloco está parcialmente submerso se a densidade do corpo sólido é menor que a densidade do fluído, r_s< r_f.
• Que o corpo esteja totalmente submerso se r_s³ r_f.

Quando o corpo está parcialmente submerso, sobre o corpo atuam duas forças o peso mg=r_sSh·g que é constante e o empuxo r_fSx·g que não é constante. Sua resultante é

F=(-r_sShg+r_fSxg)j.

Onde S a área da base do bloco, h a altura do bloco e x a parte do bloco que está submersa no fluído.

Temos uma situação análoga a de um corpo que é colocado sobre uma mola elástica na posição vertical. A energia potencial gravitacional mgy do corpo diminui, a energia potencial elástica da mola kx²/2 aumenta, a soma de ambas alcança um mínimo na posição de equilíbrio, quando é obedecido –mg+kx=0, quando o peso se iguala a força que exerce a mola.

O mínimo de E_p é obtido quando a derivada de E_p relativo a y é zero, logo na posição de equilíbrio.

A energia potencial do corpo parcialmente submerso será, de forma análoga

O mínimo de E_p é obtido quando a derivada de E_p relativo a y é zero, logo, na posição de equilíbrio, quando o peso é igualado ao empuxo. -r_sShg+r_fSxg=0

O bloco permanece submerso um comprimento x. Nesta fórmula, foi designado r como a densidade relativa do sólido (relativo ao fluído) logo, a densidade do sólido tomando a densidade do fluído como a unidade.

Forças sobre o bloco

1. Quando r <1 ou então r_s< r_f, o corpo permanece parcialmente submerso na situação de equilíbrio.

1. Quando r >1 ou então r_s> r_f, o peso é sempre maior que o empuxo, a força liquida que atua sobre o bloco é

F_y=-r_sShg+r_fShg<0.

Não existe por tanto, posição de equilíbrio, o bloco cai até que chega ao fundo do recipiente que supomos muito grande.

1. Quando r =1 ou então r_s= r_f, O peso é maior que o empuxo enquanto o bloco está parcialmente submerso (x).

F_y=-r Shg+r Sxg<0.

A força liquida que atua sobre o bloco quando está completamente submerso (x³ h) é zero, qualquer posição do bloco, completamente submerso no seio do fluído, é de equilíbrio.

Curvas de energia potencial

1. A energia potencial correspondente a força conservativa peso é

E_g= r_sShgy

1. A energia potencial correspondente a força de empuxo tem duas partes

• Enquanto o corpo está parcialmente submerso (x)

Que corresponde a área do triângulo da figura da esquerda.

• Quando o corpo está totalmente submerso (x³ h)

Que corresponde a soma da área de um triângulo de base h, e a de um retângulo de base x-h.

1. A energia potencial total é a soma das duas contribuições

E_p=E_g+E_f

Quando a densidade do sólido é igual a do fluído r_s= r_f, a energia potencial total E_p é constante e independente de x (ou de y) para x³ h como podemos comprovar facilmente.

Atividades

Introduza

• A densidade do sólido r  relativa ao fluído na barra de deslocamento titulada Densidade relativa.

Clique no botão titulado Começar.

O bloco tem uma altura h=1 de uma unidade e uma secção S. Colocamos o bloco justamente acima da superfície do fluído. A altura de seu centro de massas é y₀=1.5 unidades.

Soltamos o bloco, chega até a posição final de equilíbrio y_e= r h, se a densidade r <1, ou até o fundo do recipiente se a densidade r >1.

O programa interativo não faz nenhuma suposição acerca do modo no qual o bloco parte da posição inicial e chega a posição final (não calcula a posição e velocidade do corpo em cada instante), já que o objetivo do programa é o de mostrar as variações na energia potencial E_p do corpo com a posição y do c.m. do mesmo.

Na parte direita na simulação, é traçada:

• a energia potencial devida a força conservativa peso E_g (em cor preta),
• a energia potencial devida ao empuxo E_f (em cor azul)
• a soma de ambas contribuições E_p (em cor vermelha) em função da posição y do c.m. do bloco

Como podemos ver a curva da energia potencial gravitacional E_g (em cor preta) é uma reta cujo valor máximo está na posição inicial y=1.5 e é zero quando o bloco chega ao fundo y=0.

A curva da energia potencial correspondente ao empuxo E_f (em cor azul) é algo mais complicada e consta de duas partes: Uma parábola enquanto o corpo está parcialmente submerso (x) ou (y>0.5), unida a uma linha reta quando o corpo está completamente submerso (x³ h) ou (y£ 0.5). A energia potencial inicial é zero e vai aumentando a medida que o corpo é submerso no fluído.

A curva da energia potencial total E_p (em cor vermelha) é a soma das duas contribuições, E_p=E_g+E_f

Para traçar estes gráficos foi tomada como unidade de energia, a energia potencial inicial do bloco r_sShg·y₀ com y₀=1.5, h=1 y r_s=r , densidade do sólido relativa ao fluído r_f=1. Deste modo, a energia potencial inicial do bloco é uma unidade.

Apresentamos três casos:

1. Quando r <1,a energia potencial apresenta um mínimo em x= r h. Neste caso com x=y₀-y, h=1 e y₀=1.5, teremos que a posição do c.m. no equilíbrio será y_e=1.5-r .
    
2. Quando r >1, a curva da energia potencial não tem mínimo e por tanto, não há posição de equilíbrio estável.
    
3. No caso limite no qual r =1 a energia potencial para y£ 0.5 é uma linha reta horizontal, e a posição de equilíbrio do c.m. do bloco pode ser qualquer y£ 0.5.